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その他
～私の興味関心あるもの～
下降階乗冪[falling factorial power]

定義

任意の(x,n)∈(R,N)に対して
xn ＝ x(x-1)(x-2)...(x-n+2)(x-n+1)
＝
n-1 (x-k)
Π
k=0
とする。
また、この演算を下降階乗冪(falling factorial power)と呼ぶ。

下降階乗冪の拡張定義

x-nが0もしくは負の整数の時を除く、任意の(x,n)∈(R,Z)に対して
xn ＝
n-1 (x-k)
Π
k=0
___(n＞0)
＝ 1 ___(n＝0)
＝
-1
1
x-k
Π
k=n
___(n＜0)
とする。

10の下降階乗冪

103 ＝ 720
102 ＝ 90
101 ＝ 10
100 ＝ 1
10-1 ＝
1
11
10-2 ＝
1
132
10-3 ＝
1
1716
n,m∈Zのとき、以下を満たす。
xn+1 ＝ xn(x-n)
x-n ＝
1
(x+n)n
(x-n)-n ＝
1
xn
xn-m ＝ xn(x-n)-m

展開・因数分解公式

n∈N、a,b∈Rのとき、以下を満たす。
(a+b)n ＝
n nCkan-kbk
∑
k=0
(a+b-n) n (-1)kan-kbk
∑
k=0
＝ an+1+(-1)nbn+1
アルキメデスの渦巻線[Archimedes' spiral]

極座標系の２変数r(半径)、θ(角度)において、
r=aθ　(aは定数)
によって与えられる曲線。
中心から見た角度が左回り(反時計回り)に進めば進むほど
中心からの距離が遠ざかります。
「アルキメデスの螺旋」「正渦線せいかせん」とも呼ばれています。
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