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その他
〜私の興味関心あるもの〜

下降階乗冪[falling factorial power]

定義

任意の(x,n)∈(R,N)に対して
xn x(x-1)(x-2)...(x-n+2)(x-n+1)
n-1 (x-k)
Π
k=0
とする。
また、この演算を下降階乗冪(falling factorial power)と呼ぶ。

下降階乗冪の拡張定義

x-nが0もしくは負の整数の時を除く、任意の(x,n)∈(R,Z)に対して
xn
n-1 (x-k)
Π
k=0
___(n>0)
1 ___(n=0)
-1
1

x-k
Π
k=n
___(n<0)
とする。

10の下降階乗冪

103 720
102 90
101 10
100 1
10-1
1

11
10-2
1

132
10-3
1

1716
n,m∈Zのとき、以下を満たす。
xn+1 xn(x-n)
x-n
1

(x+n)n
(x-n)-n
1

xn
xn-m xn(x-n)-m

展開・因数分解公式

n∈N、a,b∈Rのとき、以下を満たす。
(a+b)n
n nCkan-kbk
k=0
(a+b-n) n (-1)kan-kbk
k=0
an+1+(-1)nbn+1

アルキメデスの渦巻線[Archimedes' spiral]

極座標系の2変数r(半径)、θ(角度)において、
r=aθ (aは定数)
によって与えられる曲線。
中心から見た角度が左回り(反時計回り)に進めば進むほど
中心からの距離が遠ざかります。
「アルキメデスの螺旋」「正渦線せいかせん」とも呼ばれています。

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